Budou jednou kvantové počítače řídit devizové rezervy? (díl 1)
Jedním z hlavních faktorů rozvoje výpočetní techniky byl historicky obchod, především pak potřeba vést obchodní a účetní záznamy. Později se k obchodu se zbožím přidal také „obchod s penězi“ (tedy bankovnictví) a potřeba efektivních nástrojů pro výpočty se ještě zvýšila. Kupříkladu slavná Liber Abaci (Kniha o počtech), jejímž autorem je neméně slavný Fibonacci, a jež v roce 1202 uvedla do Evropy arabské (resp. indické) číslice, sloužila především jako návod pro obchodníky a bankéře, jak řešit početní úlohy spojené s obchodem. Postupem času se výpočetní postupy a nástroje stále zlepšovaly a přes mechanické kalkulátory navržené např. Pascalem a Leibnizem, Babbageův „Diferenční stroj“ [1] a Hollerithovy děrné štítky a tabulační stroje jsme ve 40. letech 20. století dospěli do éry elektronických počítačů. Ty nejprve nalezly uplatnění zejména ve vojenském výzkumu, později také v civilním a v 50. letech se objevují první nasazení počítačů v komerční sféře (např. počítač UNIVAC od společnosti Remington Rand byl využit jako součást rezervačního systému Eastern Airlines [2]).
Elektronické počítače postupně expandovaly do všech sektorů hospodářství, nicméně brzy jejich uživatelé zjistili, že některé na první pohled jednoduše vypadající úlohy jsou pro počítače příliš náročné. Jako klasický příklad vzpomeňme úlohu obchodního cestujícího[1]. Do této kategorie ale patří také řada dalších optimalizačních úloh, rozklad přirozených čísel na prvočísla a také simulace kvantových systémů (ty nalézají uplatnění nejen v částicové fyzice, ale také např. ve farmacii a jsou inspirací pro některé modely fungování finančních trhů). Především posledně jmenovaná skupina úloh vedla k myšlence tzv. kvantových počítačů, jak skvěle vystihl její autor, fyzik Richard Feynman: „Nature isn’t classical, dammit, and if you want to make a simulation of nature, you’d better make it quantum mechanical, and by golly it’s a wonderful problem, because it doesn’t look so easy” [3]. V poslední dekádě zaznamenaly kvantové počítače prudký vývoj a z čistě laboratorních zařízení se změnily na „téměř komerčně použitelné“ výpočetní nástroje.
Vznikla řada kvantových algoritmů, které nalézají uplatnění také ve finančnictví, a banky jako např. Goldman Sachs[4] či J. P. Morgan[5] zkoumají, jaké možnosti přinášejí kvantové počítače zejména v oblasti oceňování derivátů. A především živá diskuze o tomto novém druhu výpočetního nástroje ve finančním sektoru byla motivací i pro nás věnovat se tomuto tématu blíže. Zájem bank o oblast kvantových počítačů totiž naznačuje, že v budoucnu budou hrát v jejich „výpočetním arzenálu“ významnou roli a centrální banky by na tento doslova kvantový skok měly být připraveny, jelikož plní mimo jiné úlohu regulátora trhu.
Již nyní vznikají studie týkající se kvantových verzí kreditních modelů používaných při schvalování úvěrů [6]. Centrální banky musí být schopny posoudit kvalitu těchto modelů, aby např. předešly vzniku velkého objemu úvěrů v selhání a nebyla ohrožena finanční stabilita. Nelze také opomenut skutečnost, že centrální banky patří mezi významné investory z důvodu rozsáhlých devizových rezerv, a měly by tak mít povědomí o nástrojích, které by jim v perspektivě několika let mohly pomáhat při investičním rozhodování.
V tomto blogu nejprve krátce nastíníme historii kvantových počítačů a oblasti jejich využití s důrazem právě na finančnictví, popíšeme princip jejich fungování a krátce rozebereme také jejich fyzickou realizaci. V druhém díle blogu se podíváme na naše praktické zkušenosti z experimentálních aplikací kvantových algoritmů na některé úlohy spojené s řízením devizových rezerv, konkrétně optimalizaci portfolia a měření rizik.
Historie kvantových počítačů a jejich možné využití
Jak již bylo uvedeno, s myšlenkou kvantových počítačů přišel Richard Feynman [7] v polovině 80. let 20. století. Jeho cílem bylo nalézt efektivní nástroj pro simulace kvantových systémů, např. modelů chování elementárních částic. V roce 1992 David Deutsch a Richard Jozsa [8] navrhli algoritmus, který umožnil rozpoznat, zda je určitá funkce s binárními proměnnými konstantní či tzv. vyrovnaná[2] v jediném výpočetním kroku, zatímco na klasickém počítači (tj. počítači, který máme dnes všichni na stole) by si podobný výpočet vyžádal vyčíslení funkčních hodnot pro alespoň polovinu možných vstupů funkce. Ačkoliv tento algoritmus nemá významné praktické užití, velmi dobře ukazuje, že kvantové počítače dokáží řešit také některé úlohy mimo teoretickou fyziku efektivněji než klasické.
Další, tentokrát již praktické algoritmy navrhli Peter Shor [9] v roce 1994 a Lev Grover [10] v roce 1996. Shorův algoritmus je schopen provést rozklad přirozeného čísla na prvočísla výrazně rychleji než klasické algoritmy. Konkrétně jde o tzv. exponenciální zrychlení – doba výpočtu v případě Shorova algoritmu roste s třetí mocninou počtu číslic rozkládaného čísla, v případě klasických algoritmů roste počet operací exponenciálně[3]. Zde některým čtenářům jistě přijde na mysl, že rychlý prvočíselný rozklad může vést k proražení šifrovacího mechanismu RSA (či obecněji asymetrických šifrovacích algoritmů), což je naprosto kritická otázka pro kybernetickou bezpečnost nejen v bankovnictví! Prozatím však kvantové počítače nejsou na takové úrovni, aby bylo možné provést rozklad čísel používaných v RSA šifrování. Dosud se pomocí Shorova algoritmu podařilo rozložit čísla jako např. 15, 21 či 35, nikoliv RSA klíče dlouhé 2 048 bitů[4]. Navíc kvantová mechanika vedle rychlých počítačů umožňuje konstrukci teoreticky neprolomitelného šifrování [11], které se již dočkalo praktické realizace [12] a dokonce se o něm uvažuje také v ČR [13].
Nicméně vraťme se zpět ke kvantovým algoritmům. Groverův algoritmus umožňuje rychlé vyhledávání v neuspořádaných databázích (např. obrazová data, nestrukturované dokumenty atd.). Ve srovnání s klasickými algoritmy přináší Groverův algoritmus kvadratické zrychlení, tj. např. namísto 10 000 operací postačí pouze 100 (tedy druhá odmocnina z 10 000). O praktickém využití Groverova algoritmu pro práci s databázemi bohužel panují pochyby [14], nicméně jeho mutace nalezly využití v řešení optimalizačních úloh [15][16]. Právě takovéto úlohy se často vyskytují ve finančnictví a obecně v praktickém životě (např. logistické problémy či plánování výroby).
Vedle již zmíněného Groverova algoritmu, resp. jeho variant, existuje několik dalších optimalizačních algoritmů [17][18], jež nacházejí uplatnění především v binární optimalizaci. Tedy takové, kde jednotlivé proměnné úlohy nabývají pouze hodnot 0 a 1. Příkladem takovýchto úloh je již zmiňovaná úloha obchodního cestujícího, kterou lze modifikovat také pro hledání arbitrážních příležitostí [19]. Ve finanční oblasti pak binární optimalizace dále nachází uplatnění při konstrukci portfolií cenných papírů [20].
Nejen pro finanční oblast zajímavým kvantovým algoritmem je tzv. HHL algoritmus[5][21] umožňující rychlé řešení soustav lineárních rovnic (zrychlení je v některých případech až exponenciální). Tyto soustavy často nalezneme ve statistickém zpracování dat (např. lineární regrese), resp. jeho pokročilejším příbuzném, strojovém učení [22]. Čistě finanční aplikací HHL algoritmu je pak opět optimalizace portfolia založená na Markowitzově přístupu [23]. Tento přehled možných aplikací kvantových počítačů ve finančnictví není zdaleka vyčerpávající a čtenář s větším zájmem o problematiku nalezne souhrny dalších možných aplikací v řadě článků [24][25][26].
Princip fungování kvantových počítačů
Po tomto krátkém přehledu možných využití kvantových počítačů se podíváme na principy jejich fungování a vysvětlíme, co je důvodem jejich vyšší rychlosti v některých úlohách ve srovnání s klasickými počítači.
Veškeré operace odehrávající se na klasickém počítači jsou v podstatě výsledkem manipulace s řetězci bitů, tj. jedniček a nul. Analogicky kvantový počítač pracuje s kvantovými bity, tzv. qubity. Také qubit může nabývat hodnoty 0 nebo 1, stejně jako klasický bit, navíc ale může být současně v obou stavech[6] zároveň. Qubit je tedy jakýmsi „mixem“ nuly a jedničky přičemž oba stavy mohou být zastoupeny v libovolném poměru - říkáme, že qubit je v superpozici stavů 0 a 1. Qubit zůstává v superpozici do té doby, než je změřen, popř. vyrušen nějakým vnějším vlivem. V tomto okamžiku je náhodně vybrán jeden ze stavů a qubit do něj tzv. zkolabuje. Pravděpodobnost, zda qubit bude po měření ve stavu např. 0, závisí na zmíněném poměru, v jakém byly stavy 0 a 1 zastoupeny v superpozici.
Ačkoliv se takovéto chování může zdát nesmyslné (vždyť nic nemůže být ve dvou stavech současně!), kvantový mikrosvět je založen na jiných principech než běžná zkušenost. Pro lepší pochopení, co je superpozice, můžeme využít známého myšlenkového experimentu zvaného Schrödingerova kočka. Uvažme kočku, která je zavřena v krabici společně s atomem radioaktivního prvku, kladivem a lahvičkou jedu. Pokud dojde k rozpadu atomu (pravděpodobnost je např. 50 %), kladivo rozbije lahvičku a kočka zemře. Dokud však krabici neotevřeme, nevíme, zda kočka žije či nikoliv. Do otevření krabice (tedy do provedení měření), je kočka současně živá i mrtvá, tedy v superpozici těchto stavů[7].
Nicméně vraťme se zpět ke kvantovým počítačům a významu superpozice pro jejich fungování. Podobně jako jeden qubit může být současně ve dvou stavech, dva qubity mohou být současně ve čtyřech stavech – 00, 01, 10 a 11, tři qubit v osmi, čtyři v šestnácti atd. Zde vidíme důvod, proč je složité simulovat kvantové systémy na klasickém počítači. S rostoucím počtem qubitů (popř. částic) tvořících systém, roste počet možných stavů exponenciálně, a tím také nároky na paměť a počet výpočetních kroků. Superpozice je tedy jedním z faktorů, který umožňuje kvantovým počítačům překonat klasické počítače. Zde bychom však chtěli upozornit na často se opakující omyl, že superpozice umožňuje paralelní provádění výpočtů (např. při 4 qubitech je možné provést výpočet na šestnácti možných vstupech naráz), což je důvod proč jsou kvantové počítače rychlejší. Kdyby tomu tak bylo, všechny kvantové algoritmy by vykazovaly exponenciální zrychlení ve srovnání s klasickými, což však není pravda (např. Groverův algoritmus přináší pouze kvadratické zrychlení).
Přejděme nyní k dalšímu jevu, který hraje roli ve vyšším výkonu kvantových počítačů ve srovnání s klasickými. Tímto jevem je tzv. kvantové propletení (angl. entanglement). Podobně jako superpozice, také kvantové propletení nemá analogii v makrosvětě. Pokud jsou dva nebo více qubitů propleteny, hodnota jednoho qubitu závisí na hodnotě ostatních. Příkladem propleteného stavu je např. superpozice stavů 00 a 11, přičemž oba stavy jsou zastoupeny ve stejném poměru (tzv. Bellův stav). Evidentně pokud změříme první qubit a získáme např. hodnotu 0, druhý qubit automaticky kolabuje také do stavu 0 a změříme-li jej, získáme tento stav s pravděpodobností 100 % (analogicky pro změření stavu 1). Vedle superpozice je kvantové propletení dalším faktorem vedoucím k vyššímu výkonu kvantových počítačů. Jak velké zrychlení daný kvantový algoritmus přinese oproti klasickému přístupu, však musí být určeno relativně komplikovanými matematickými postupy založenými na aparátech kvantové mechaniky a teoretické informatiky, přičemž role superpozice a kvantového propletení rozhodně není intuitivní.
Říkali jsme, že výpočet na klasickém počítači je založen na manipulaci s bity. Podobně v případě kvantového počítače je nutné nějakým způsobem manipulovat s qubity. K tomuto slouží tzv. kvantová hradla analogická logickým obvodů na klasickém počítači. Pravděpodobně nejjednodušším hradlem je kvantová verze logické negace, která mění stav qubitu z 0 na 1 či opačně. Zajímavější je však tzv. Hadamardovo hradlo, které je schopné změnit qubit ve stavu 0 na qubit v superpozici stavů 0 a 1, přičemž poměr 0 a 1 v superpozici je stejný, tj. po měření máme stejnou šanci získat stav 0 i 1. Velmi důležitým hradlem je řízená negace. Toto hradlo pracuje s dvěma qubity a pokud je první qubit ve stavu 1, provede hradlo negaci druhého. V případě, že je první qubit ve stavu 0, druhý qubit není nijak měněn. Samozřejmě existuje ještě řada dalších hradel, umožňující nastavit libovolný „směšovací poměr“ stavů 0 a 1 či realizovat kvantové ekvivalenty logických operací, nicméně jejich popis je nad rámec tohoto článku[8].
Kombinováním kvantových hradel vznikají tzv. kvantové obvody, které reprezentují daný kvantový algoritmus. Výchozí stav kvantového počítače je tímto obvodem postupně měněn až do finálního, který je následně změřen. Uvedený proces se několikrát opakuje, čímž je získáno pravděpodobnostní rozdělení popisující výsledný stav. Z tohoto rozdělení je poté již klasickým výpočtem možné odvodit výsledné řešení úlohy (podrobněji toto rozebereme v druhé části blogu o možném budoucím využití kvantových počítačů při správě devizových rezerv).
Praktická realizace kvantových počítačů
Nyní tedy máme rámcovou představu, jak kvantový počítač pracuje teoreticky, nicméně abychom jej mohli využít v praxi, musíme jej fyzicky realizovat. Existuje řada způsobů jako vytvořit fyzický qubit. Jak již bylo řečeno, qubit může nabývat dvou stavů, potřebujeme tedy systém, který má alespoň dva rozlišitelné stavy. Příkladem je elektron, jehož spin (hrubě řečeno rotace) může nabývat dvou hodnot: +1/2 a -1/2[9]. Spin elektronu tedy může být naším qubitem. V současné době se často setkáváme také s kvantovými počítači založenými na tzv. supravodivých qubitech. Ty jsou realizovány ve speciálních polovodičových čipech obsahujících kovové plošky oddělené izolačním materiálem, tzv. Josephsonovy přechody. Za velmi nízkých teplot blízkých absolutní nule získá kov supravodivé vlastnosti a přechody se začnou chovat tak, že elektromagnetická energie v nich uložená může nabývat pouze určitých hodnot. Tyto hodnoty jsou rozlišitelné a umožňují tak realizaci qubitu[10]. Zde je ještě vhodné poznamenat, že použitá extrémně nízká teplota (cca 15 mili Kelvinů) nejenom umožňuje vlastní fungování qubitu, ale také jej chrání před tepelným šumem, který by mohl narušit superpozici či propletení[11].
Právě udržení superpozice po co nejdelší dobu (tzv. doba koherence kvantového stavu) je důležitým faktorem pro správnou funkci kvantového počítače. Čím je tato doba delší, tím komplikovanější výpočty (tj. časově náročnější) je na něm možné provádět. Prodloužení doby koherence je tak jedním z největších inženýrských problémů, kterému současné kvantové počítače čelí. Vedle realizace samotných qubitů je také nutné nějakým způsobem realizovat kvantová hradla. V případě supravodivých qubitů mají podobu modulovaných mikrovlnných pulzů. Existují také qubity založené na vlastnostech fotonů (částic světla), kde mohou být hradla realizována optickými prvky, např. hranoly.
V tomto blogu jsme tedy uvedli některé možné aplikace kvantových počítačů nejen ve financích a především jsme nastínili, jak tyto počítače fungují. Máme tak za sebou nezbytné teoretické minimum, abychom mohli přistoupit k diskuzi možného budoucího využití kvantových počítačů při řešení úloh spojených s řízením devizových rezerv. Konkrétně se zaměříme na algoritmy pro výpočet rizikových měr a kvantové metody pro optimalizaci portfolia. Dodejme, že veškeré výpočty budeme provádět na skutečném supravodivém kvantovém počítači IBM QuantumTM, který je pro výzkumné a edukativní účely dostupný zdarma jako cloudová služba[29]. O tomto počítači budeme podrobněji hovořit také v druhém díle tohoto blogu.
Reference:
[1] MARSHALL, S. J (2015): The Story of the Computer: A Technical and Business History. ISBN: 978-1546849070, pg. 58-69
[2] Ibid [1], pg. 302
[3] TRABESINGER, A. (2012) “Quantum simulation”. Nature Physics
[4] CHAKRABARTI S., R. KRISHNAKUMAR R., G. MAZZOLA, N. STAMATOPOULOS, S. WOERNER AND W. J. ZENG (2021): “A Threshold for Quantum Advantage in Derivative Pricing.” arXiv:2012.03819v3 [quant-ph].
[5] STAMATOPOULOS N., D.J. EGGER, Y. SUN, C. ZOUFAL, R. ITEN, N. SHEN AND S. WOERNER (2020): “Option Pricing using Quantum Computers.” Quantum
[6] EGGER, D. J., R. G. GUTIERREZ, J. C. MESTRE, AND S. WOERNER (2020): “Credit Risk Analysis using Quantum Computers.” IEEE Transactions on Computers.
[7] FEYNMAN, R. P. (1985): “Quantum Mechanical Computers.” Optics News, 11(2).
[8] DEUTSCH, D. AND R. JOZSA (1992): “Rapid solutions of problems by quantum computation.” Proceedings of the Royal Society of London A, 439.
[9] SHOR, P. W. (1994): “Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and factoring.” Proceedings 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science.
[10] GROVER, L. K. (1996): “A fast quantum mechanical algorithm for database search.” Proceedings of 28th Annual ACM Symposium on the Theory of Computing (STOC).
[11] BENNETT, C. H., F. BESSETTE, G. BRASSARD, L. SALVAIL, AND J. SMOLIN (1992): “Experimental Quantum Cryptography.” Journal of Cryptography, 5(1).
[12] CHEN, Y. A., Q. ZHANG, T. Y. CHEN, W. Q. CAI, S. K. LIAO, J. ZHANG, K. CHEN, J. YIN, J. G. REN, Z. CHEN, S. L. HAN, Q. YU, K. LIANG, F. ZHOU, X. YUAN, M. S. ZHAO, T. Y. WANG, X. JIANG, L. ZHANG, W. Y. LIU, Y. LI, Q. SHEN, Y. CAO, C. Y. LU, R. SHU, J. Y. WANG, L. LI, N. L. LIU, F. XU, X. B. WANG, C. Z. PENG, AND J. W. PAN (2021): “An integrated space-to-ground quantum communication network over 4,600 kilometres.” Nature, 589.
[13] VOTRUBA V. (2021): “Úřady či jaderné elektrárny propojí kvantová síť. Umožní extrémně bezpečný přenos dat bez rizika nabourání zvenčí.” On-line: https://archiv.hn.cz/c1-66965770-urady-ci-jaderne-elektrarny-propoji-kvantova-sit-umozni-extremne-bezpecny-prenos-dat-bez-rizika-nabourani-zvenci
[14] VIAMONTES F.V., I.L. MARKOV, AND J.P. HAYES (2004): “Is Quantum Search Practical?.” arXiv:quant-ph/0405001v1
[15] DURR, C. AND P. HOYER (1996): “A quantum algorithm for finding the minimum.” arXiv:quantph/9607014.
[16] GILLIAM, A., S. WOERNER, AND C. GONCIULEA (2021): “Grover Adaptive Search for Constrained Polynomial Binary Optimization.” Quantum, 5.
[17] FARHI, E., J. GOLDSTONE, AND S. GUTMANN (2014): “A Quantum Approximate Optimization Algorithm.” arXiv:1411.4028v1 [quant-ph].
[18] BARKOUTSOS, P. K., G. NANNICINI, A. ROBERT, I. TAVERNELLI, AND S. WOERNER (2020): “Improving Variational Quantum Optimization using CVaR.” Quantum, 4.
[19] ROSENBERG G. (2016): “Finding optimal arbitrage opportunities using a quantum annealer.” 1QBit.com white paper. On-line: http://1qbit.com/whitepaper/arbitrage/
[20] ELSOKKARY, N., F. S. KHAN, D. L. TORRE, T. S. HUMBLE, AND J. GOTTLIEB (2017): “Financial Portfolio Management using Adiabatic Quantum Optimization: The Case of Abu Dhabi Securities Exchange.” IEEE High-performance Extreme Computing 2017 conference proceedings.
[21] HARROW, A. W., A. HASSIDIM, AND S. LLOYD (2009): “Quantum Algorithm for Linear Systems of Equations.” Physical Review Letters, 103(15).
[22] DUAN, B., J. YUAN, C.-H. YU, J. HUANG, AND C.-Y. HSIEH (2020): “A survey on HHL algorithm: From theory to application in quantum machine learning.” Physical Letters A, 384(24).
[23] REBENTROST, P. AND S. LLOYD (2018): “Quantum computational finance: quantum algorithm for portfolio optimization.” arXiv:1811.03975 [quant-ph].
[24] ORÚS, R., S. MUGEL, AND E. LIZASO (2019): “Quantum computing for finance: Overview and prospects.” Reviews in Physics, 4.
[25] EGGER, D. J., C. GAMBELLA, J. MARECEK, S. MCFADDIN, M. MEVISSEN, R. RAYMOND, A. SIMONETTO, S. WOERNER, AND E. YNDURAIN (2020): “Quantum computing for Finance: state of the art and future prospects.” IEEE Transactions on Quantum Engineering, 1.
[26] HULL, I., O. SATTATH, E. DIAMANTI, AND G. WENDIN (2020): “Quantum Technology for Economists.” Sverige Riksbank Working Paper Series, 398.
[27] BARENCO, A., C. H. BENNETT, R. CLEVE, D. P. DIVINCENZO, N. MARGOLUS, P. SHOR, T. SLEATOR, J. A. SMOLIN, AND H. WEINFURTER (1995): “Elementary gates for quantum computation.” Physical Review A, 52.
[28] KJAERGAARD, M., M. E. SCHWARTZ, J. BRAUMULLER, P. KRANTZ, J. I.-J. WANG, S. GUSTAVSSON, AND W. D. OLIVER (2020): “Superconducting Qubits: Current State of Play.” Annual Review of Condensed Matter Physics, 11.
[29] https://quantum-computing.ibm.com/docs/
[30] https://azure.microsoft.com/en-us/solutions/quantum-computing/#microsoft-approach
Klíčová slova
Kvantové počítače, devizové rezervy, optimalizace portfolia, měření rizik
Klasifikace JEL
C61, C63, G11
[1] Cílem této úlohy je najít nejkratší cestu (z hlediska vzdálenosti, času nebo nákladů), která umožní navštívit sérii měst, přičemž každé je navštíveno právě jednou a obchodní cestující se vrátí do výchozího bodu. Z hlediska teorie grafů hledáme tzv. Hamiltonův cyklus. Složitost úlohy roste s faktoriálem počtu měst, např. pro 4 města existuje maximálně 24 (1·2·3·4) možných cest, pro 10 měst je počet cest roven již 3 628 800 (1·2…9·10).
[2] Konstantní binární funkce vrací pro všechny své vstupy stejnou hodnotu, tj. 0 nebo 1. Vyrovnaná funkce vrací pro polovinu vstupů 0, pro druhou polovinu 1.
[3] Přesněji roste exponenciálně v třetí odmocnině počtu číslic rozkládaného čísla.
[4] Existují také další kvantové algoritmy umožňující rozklad na prvočísla za pomoci binární optimalizace, nicméně dosud nejvyšší rozložené číslo je v řádu miliónů, tedy stále mnohem méně než je nutné pro rozbití RSA šifry.
[5] Název algoritmu je zkratkou jmen jeho autorů Harrowa, Hassidima a Lloyda.
[6] V „kvantové branži“ se častěji používá pojem stav nežli hodnota.
[7] Paní Schrödingerová říká panu Schrödingerovi: „Prosím tě, Erwine, cos to zase provedl s tou kočkou? Vždyť je polomrtvá!“
[8] Čtenář, který by se chtěl s problematikou kvantových hradel seznámit blíže, může využít poměrně rozsáhlou literaturu, např. [27].
[9] Zde je nutné podotknout, že spin je ryze kvantová vlastnost elementárních částic a analogie, že jde o rotaci, není přesná. Elektron (či jakákoliv jiná elementární částice) není rotující koule, jak je často zpodobňován ve středoškolských učebnicích.
[10] Tento popis fungování supravodivého qubitu je značně hrubý. Čtenář se zájmem o problematiku může využít např. literaturu [28].
[11] Pro zajímavost uveďme, že teplota mezihvězdného prostoru je 2,7 K (2 700 mK), tedy značně vysoká ve srovnání s požadavky supravodivých kvantových počítačů. Dodejme, že např. Microsoft [30] pracuje na konceptu tzv. topologického kvantového počítače, který by teoreticky měl fungovat za pokojové teploty a měl by být odolný vůči šumům. Jeho konstrukce však závisí na objevení prozatím pouze teoreticky předpovězených částic zvaných anyony.